Eratosthenes’ si
Eratosthenes’ si er en 2000 år gammel metode til at finde primtal: Put alle de naturlige tal i sien, fjern dog 1 med det samme. Markér tallet 2 og ryst sien. Herved forbliver 2 i sien, men resten af 2-tabellen falder ud. Man fortsætter ved at markere det mindste umarkerede tal i sien og ryste den. Gør man dette uendeligt mange gange, er det kun primtallene, der ligger tilbage i sien.
Introduktion
Gennem 4 arbejdsark forbedres en NetLogo-model over Eratosthenes’ si gradvist. Processen er nærmest iterativ:
Eleverne opnår indsigt i tabellernes mønstre og i primtallenes natur ved at arbejde med den første, primitive model.
Denne indsigt bruges til at forbedre modellen – at gøre den mere effektiv og gøre den i stand til at finde højere og højere primtal.
Den forbedrede model giver nu dybere. indsigt i primtallenes natur
Eleverne opnår indsigt i tabellernes mønstre og i primtallenes natur ved at arbejde med den første, primitive model.
Denne indsigt bruges til at forbedre modellen – at gøre den mere effektiv og gøre den i stand til at finde højere og højere primtal.
Den forbedrede model giver nu dybere. indsigt i primtallenes natur
Aktivitetens længde
Måske 2 moduler á 90 minutter.
Materialer
Der er 5 NetLogo-modeller, 4 arbejdsark samt en lærervejledning. Man behøver ikke tage alle arbejdsarkene, men kan hoppe ind et sted. Arbejdsark m udbygger NetLogo-modellen version m til version m+1.
model v1 →→→ model v2 →→→ model v3 →→→ model v4 →→→ model v5
arbejdsark1 arbejdsark2 arbejdsark3 arbejdsark4
Elevmaterialer:
– Arbejdsark: “Eratosthenes si i NetLogo Arbejdsark 1.docx” – samt efterfølgende arbejdsark 2-4
– NetLogo-model: “Eratosthenes si version1.nlogo” – samt efterfølgende modeller version 2-5
Lærermaterialer:
– Plakat over forløbet: “Poster_Peter_EratosthenesSi.pdf”
– Lærerdokument: “Til læreren.docx”
– NetLogo-model med løsning: De efterfølgende NetLogo modeller er løsninger på tidligere arbejdsark.
model v1 →→→ model v2 →→→ model v3 →→→ model v4 →→→ model v5
arbejdsark1 arbejdsark2 arbejdsark3 arbejdsark4
Elevmaterialer:
– Arbejdsark: “Eratosthenes si i NetLogo Arbejdsark 1.docx” – samt efterfølgende arbejdsark 2-4
– NetLogo-model: “Eratosthenes si version1.nlogo” – samt efterfølgende modeller version 2-5
Lærermaterialer:
– Plakat over forløbet: “Poster_Peter_EratosthenesSi.pdf”
– Lærerdokument: “Til læreren.docx”
– NetLogo-model med løsning: De efterfølgende NetLogo modeller er løsninger på tidligere arbejdsark.
Aktivitetens sværhedsgrad
Aktiviteterne i forløbet kan laves uden forudgående kendskab til computational thinking, programmering og kodning.
Beskrivelse af aktiviteten
Eleverne veksler meget mellem at arbejde i kode og i interface. I koden generaliserer og optimerer de.
Hvis man starter med et endeligt antal tal n i sien, behøver man kun at markere op til √𝑛.
Ovenfor har man fundet primtallene op til 100 ved at fjerne tabellerne op til √100 = 10.
Mulighed for perspektivering:
– Beviset for at der findes uendeligt mange primtal. Jeg supplerede med modstridsbeviset for at der findes uendeligt mange primtal. – – Der bliver lagt op til tankegangen på arbejdsark 3 og 4.
– Hvordan man leder efter store primtal.
– Primtals betydning i RSA-kryptering
Aktiviteterne er beskrevet i større detalje i arbejdsarket til eleverne og dokumentet “Til læreren.docx” under “Download materiale”.
HVAD ER GÅET FORUD FOR AKTIVITETEN, OG HVAD SKAL DER SKE EFTER:
Kan smides ind i et par moduler mellem to forløb. Giver et lille dryp primtalsforståelse og noget computational thinking. Kendskab til NetLogo skader ikke, men er ikke en forudsætning. Det er oplagt i forlængelse af denne aktivitet at køre beviset for, at der findes uendeligt mange primtal.
HVORDAN AKTIVITETEN OG NETLOGO BLEV INTRODUCERET FOR ELEVERNE:
De blev introduceret kanske kort til NetLogo (interface, kode), ellers var de ret selvkørende ud fra arbejdsarkene.
FAGLIGE MÅL:
Overordnet mål:
– At give en mere visuel tilgang til primtal samt at lave et samspil mellem matematisk viden og NetLogo-modellens gradvise forbedringer.
Matematik-faglige mål:
– Definition af primtal
– Tabellernes mønstre
– At nogle tabeller er indeholdt i andre
– At man kan nøjes med at fjerne tabeller op til √𝑛, hvis man vil finde primtallene op til n.
– At man kan nøjes med at fjerne primtalstabellerne op til √𝑛, hvis man vil finde primtallene op til n.
– At der er store mellemrum mellem primtal, og hvordan man kan finde dem.
– Indsigt i primtalstvillinger, -trillinger og –firlinger samt deres placering i forhold til bestemte tabeller.
CT-faglige mål:
– At arbejde i interface – lave knapper, inputfelter, hotkeys, ændre på dimensionerne på modellens verden
– At ændre i koden – lave procedurer, herunder generalisere og optimere koden.
Hvis man starter med et endeligt antal tal n i sien, behøver man kun at markere op til √𝑛.
Ovenfor har man fundet primtallene op til 100 ved at fjerne tabellerne op til √100 = 10.
Mulighed for perspektivering:
– Beviset for at der findes uendeligt mange primtal. Jeg supplerede med modstridsbeviset for at der findes uendeligt mange primtal. – – Der bliver lagt op til tankegangen på arbejdsark 3 og 4.
– Hvordan man leder efter store primtal.
– Primtals betydning i RSA-kryptering
Aktiviteterne er beskrevet i større detalje i arbejdsarket til eleverne og dokumentet “Til læreren.docx” under “Download materiale”.
HVAD ER GÅET FORUD FOR AKTIVITETEN, OG HVAD SKAL DER SKE EFTER:
Kan smides ind i et par moduler mellem to forløb. Giver et lille dryp primtalsforståelse og noget computational thinking. Kendskab til NetLogo skader ikke, men er ikke en forudsætning. Det er oplagt i forlængelse af denne aktivitet at køre beviset for, at der findes uendeligt mange primtal.
HVORDAN AKTIVITETEN OG NETLOGO BLEV INTRODUCERET FOR ELEVERNE:
De blev introduceret kanske kort til NetLogo (interface, kode), ellers var de ret selvkørende ud fra arbejdsarkene.
FAGLIGE MÅL:
Overordnet mål:
– At give en mere visuel tilgang til primtal samt at lave et samspil mellem matematisk viden og NetLogo-modellens gradvise forbedringer.
Matematik-faglige mål:
– Definition af primtal
– Tabellernes mønstre
– At nogle tabeller er indeholdt i andre
– At man kan nøjes med at fjerne tabeller op til √𝑛, hvis man vil finde primtallene op til n.
– At man kan nøjes med at fjerne primtalstabellerne op til √𝑛, hvis man vil finde primtallene op til n.
– At der er store mellemrum mellem primtal, og hvordan man kan finde dem.
– Indsigt i primtalstvillinger, -trillinger og –firlinger samt deres placering i forhold til bestemte tabeller.
CT-faglige mål:
– At arbejde i interface – lave knapper, inputfelter, hotkeys, ændre på dimensionerne på modellens verden
– At ændre i koden – lave procedurer, herunder generalisere og optimere koden.
Afprøvning
21 elever (mat A) fra Science og Biotek
HVORDAN FØLTES DET AT INDDRAGE CT I DIN UNDERVISNING?
Der var nogle frustrationsbump at skulle over – men belønningen var stor, når det lykkes (motivation).
HVORDAN TOG ELEVERNE IMOD AKTIVITETEN OG DÉT AT ARBEJDE MED NETLOGO?
Fint. Nogle troede dog, at de i forvejen vidste alt om primtal – det gjorde de ikke. Nogle troede, at de aldrig ville kunne forstå et program eller at skrive i et – det kunne de godt.
HVAD ER DIN OPLEVELSE AF ELEVERNES UDBYTTE?
Udmærket. Måske en god idé at samle op på tillærte, nye NetLogo-kompetencer (uanset om de har arbejdet i NetLogo før). Der bliver generaliseret og optimeret i koden. Begge er gode CT-kompetencer.
HVORDAN FØLTES DET AT INDDRAGE CT I DIN UNDERVISNING?
Der var nogle frustrationsbump at skulle over – men belønningen var stor, når det lykkes (motivation).
HVORDAN TOG ELEVERNE IMOD AKTIVITETEN OG DÉT AT ARBEJDE MED NETLOGO?
Fint. Nogle troede dog, at de i forvejen vidste alt om primtal – det gjorde de ikke. Nogle troede, at de aldrig ville kunne forstå et program eller at skrive i et – det kunne de godt.
HVAD ER DIN OPLEVELSE AF ELEVERNES UDBYTTE?
Udmærket. Måske en god idé at samle op på tillærte, nye NetLogo-kompetencer (uanset om de har arbejdet i NetLogo før). Der bliver generaliseret og optimeret i koden. Begge er gode CT-kompetencer.
Forslag til forbedring
Har foretaget småjusteringer i det, jeg har uploadet her på siden.
Andet
Det er en sjov iterativ proces, eleverne kommer igennem i denne aktivitet:
De bruger modellen til at blive klogere på tabellernes placering og dermed på primtal.
De bruger deres indsigt til at gøre modellen mere effektiv til at finde primtal.
De bruger modellen igen til at blive klogere på primtal
Osv.
Information om forløbet
Forfatter
- Peter Mark Salomonsen
- Bjerringbro Gymnasium
Materialer
Teknologier
Årgange
Link til materialer
Forskningsbaseret forløb
- ErasoSi
